Wstęp
W matematyce pojęcie wypukłości i wklęsłości funkcji odgrywa kluczową rolę w analizie zachowań funkcji oraz ich wykresów. Wypukłość odnosi się do kształtu wykresu funkcji, wskazując, czy znajduje się on powyżej czy poniżej linii stycznej w danym punkcie. Rozumienie tych pojęć jest istotne nie tylko w teorii matematycznej, ale także w zastosowaniach praktycznych, takich jak optymalizacja i ekonomia. W artykule tym przyjrzymy się definicjom wypukłości i wklęsłości, ich własnościom oraz warunkom równoważnym dla funkcji jednowymiarowych.
Definicja wypukłości i wklęsłości
Funkcję rzeczywistą f, określoną na zbiorze wypukłym C, nazywamy wypukłą, jeśli dla dowolnych punktów x1 i x2 z C oraz dla dowolnych współczynników α i β z przedziału [0, 1], gdzie α + β = 1, zachodzi nierówność:
f(αx1 + βx2) ≤ αf(x1) + βf(x2).
Geometria tej nierówności wskazuje, że łuk wykresu funkcji łączący dwa punkty leży poniżej lub na cięciwie łączącej te punkty. Z kolei funkcja jest wklęsła, jeśli powyższą nierówność zamienimy na nieostrożną, czyli:
f(αx1 + βx2) ≥ αf(x1) + βf(x2).
Terminologia i różnice między funkcjami wypukłymi a wklęsłymi
Niewielka liczba autorów używa zamiennie terminów „funkcja wypukła” i „funkcja wklęsła”, co może prowadzić do nieporozumień. Często spotyka się również określenia „wypukła w dół” dla funkcji wypukłych i „wypukła w górę” dla funkcji wklęsłych. Warto zauważyć, że zastępując nierówności w definicjach wypukłości i wklęsłości przez nierówności ostre, definiujemy funkcje ściśle wypukłe i ściśle wklęsłe.
Własności wypukłości funkcji jednowymiarowych
Aby określić, czy funkcja f: I → R, gdzie I ⊆ R, jest wypukła, można skorzystać z charakterystyki opartej na wartościach średnich. Funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów a, b, c z przedziału I, gdzie a < b < c, spełniona jest następująca nierówność:
(f(b) - f(a)) / (b - a) ≤ (f(c) - f(b)) / (c - b).
Taka charakteryzacja jest przydatna do udowodnienia ciągłości funkcji wypukłej. Funkcja ta jest również kresem górnym rodziny funkcji liniowych, które są mniejsze lub równe od niej. W szczególnym przypadku, gdy zastosujemy wartości średnie dla współczynników (tj. α = β = 1/2), otrzymujemy nierówność:
f((x + y) / 2) ≤ (f(x) + f(y)) / 2.
Zauważmy jednak, że istnieją funkcje spełniające tę ostatnią nierówność, które nie są wypukłe.
Ciągłość a wypukłość
Kiedy zakładamy, że przedział I jest otwarty i że funkcja f jest wypukła w tym przedziale, możemy stwierdzić, że taka funkcja jest również ciągła. Jeżeli dodatkowo funkcja spełnia warunki dotyczące wartości średnich dla wszystkich punktów z przedziału otwartego oraz jest ciągła, to można potwierdzić jej wypukłość.
Pojęcia związane z różniczkowalnością a wypukłość i wklęsłość
Dla funkcji różniczkowalnej na przedziale otwartym można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej. Funkcja f(x) jest wypukła w przedziale (a,b), jeśli wykres leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu x₀ ∈ (a,b). Można to zapisać jako:
∀x,x₀ ∈ (a,b): f(x) - f(x₀) ≥ f'(x₀)(x - x₀).
Dla funkcji dwukrotnie różniczkowalnej wystarczy stwierdzić, że jej druga pochodna jest nieujemna na danym przedziale:
∀x ∈ (a,b): f''(x) ≥ 0.
Z kolei dla funkcji wklęsłej konieczne jest spełnienie warunku:
∀x ∈ (a,b): f''(x) ≤ 0.
Punkty przegięcia jako granice między wypukłością a wklęsłością
Punkt przegięcia to miejsce na wykresie funkcji, gdzie zmienia się jego konweksyjność – z wypukłego na wklęsły lub odwrotnie. Jeśli z jednej strony punktu x₀ funkcja jest wypukła, a z drugiej wklęsła, to m
Artykuł sporządzony na podstawie: Wikipedia (PL).